Problemi: limiti i tavolinës
Një Martingale me $10 në një tavolinë me $500. Sa shpesh thyhet, sa humbet kur thyhet, dhe a ndihmon ngritja e limitit?
Gjashtë humbje radhazi e thyejnë: 1,8% për cikël, rreth 60% e seancave prej 100 rrotullimesh. Thyerja kushton $630. Ngritja e limitit në $5000 e bën thyerjen më të rrallë (0,25% për cikël) dhe më të madhe ($5110). Humbja e pritur për çdo dollar të vënë është 2,70% me çdo limit.
Problemi
Një lojtar vë $10 në të kuqebastE kuqeBast me pagesë të barabartë në 18 numrat e kuq. Frëngjisht: rouge.Lexoni të plotë → dhe e dyfishon pas çdo humbjeje, duke rifilluar pas një fitoreje. Maksimumi i tavolinës është $500. (a) Sa humbje radhazi e thyejnë progresioninstrategjiProgresioniÇdo rregull që ndryshon shumën e bastit sipas rezultateve të mëparshme. Progresionet negative e rritin atë pas humbjeve, ato pozitive pas fitoreve.Lexoni të plotë →? (b) Cili është probabilitetimatematikëProbabilitetiGjasa e një rezultati, nga 0 në 1 ose nga 0% në 100%. Një numër: 1/37 = 2,70%.Lexoni të plotë → për cikël? (c) Çfarë humbet në thyerje? (d) Si i ndryshon përgjigjet një limit prej $5000? (e) A e bën ndonjë limit sistemin fitimprurës?
Zgjidhjet (a)–(c)
Shumat e bastit: 10, 20, 40, 80, 160, 320. E shtata do të ishte 640 > 500, prandaj gjashtë humbje e thyejnë. (b) p(humbje) = 19/37 në të kuqe; (19/37)⁶ = 0,0183, rreth 1,8% për cikël. Një cikël zgjat mesatarisht rreth dy rrotullime, kështu që një seancë prej 100 rrotullimesh ka afërsisht 50 cikle dhe p(të paktën një thyerje) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, që janë 63 njësiparaNjësiaShuma bazë e bastit me të cilën punon një sistem ose një lojtar. Progresionet përshkruhen në njësi, që të vlejnë në çdo tavolinë.Lexoni të plotë → bazë, kundrejt $10 që cikli përpiqej të fitonte.
Zgjidhja (d)
Me $5000: lejohen shuma deri në 2560; shuma e dhjetë, 5120, refuzohet. Nëntë humbje e thyejnë: (19/37)⁹ ≈ 0,25% për cikël, rreth 11% e seancave prej 100 rrotullimesh. Humbja në thyerje: 10 + 20 + … + 2560 = $5110. Lojtari ka blerë një katastrofë më të rrallë me çmimin e një më të madheje. Gjatë shumë seancave, kostoja e pritur e thyerjeve është p × humbja ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 për cikël me limitin $500 dhe 0,0025 × 5110 = $12,8 me $5000; brenda rrumbullakimit është i njëjti numër, dhe është humbja e priturmatematikëHumbja e priturVlera e pritur shumëzuar me shumën totale të vënë; shuma mesatare e humbur gjatë një seance ose një periudhe.Lexoni të plotë → e ciklit minus $10 që fitojnë ciklet fituese.
Zgjidhja (e)
Jo. Humbja e pritur për cikël = (shuma totale e pritur e basteve në cikël) / 37, me çdo limit, sepse çdo bast është −1/37 e vetvetes. Limiti vendos vetëm si shpërndahet humbja midis shumë fitoreve të vogla dhe pak humbjeve të mëdha. Pa limit dhe me buxhet lojeparaBuxheti i lojësShuma totale e veçuar për lojë. Menaxhimi i buxhetit të lojës është vendimi se sa prej saj të rrezikohet për bast dhe për seancë.Lexoni të plotë → të pafundmë, progresioni do të „funksiononte“, në kuptimin që nuk do të thyhej kurrë, dhe gjithashtu do të vinte një shumë të pakufizuar me humbje të pritur 2,70% të asaj shume të pakufizuar. Nuk është limiti i tavolinëstavolinëLimiti i tavolinësBasti minimal dhe maksimal i lejuar. Maksimumi është ai që i ndal progresionet me dyfishim.Lexoni të plotë → ai që e pengon MartingalestrategjiMartingaleProgresion që e dyfishon bastin pas çdo humbjeje. Shikoni seksionin e Strategjisë për atë që bën dhe nuk bën.Lexoni të plotë →-n të funksionojë. Është aritmetika.
Dy tavolina reale
Shembulli i Thorp-it është një tavolinë me $1 dhe maksimum $1000, ku një lojtar shpreson të fitojë $30 për darkë, dollar pas dollari. Shumat 1, 2, 4 … 512 lejojnë dhjetë baste, kështu që dhjetë humbje radhazi e thyejnë progresionin: një herë në 785 cikle në një rrotë evropiane (një herë në 613 në një amerikane), me një kosto prej $1023. Tridhjetë cikle dalin të gjitha me sukses 96,2% të kohës. 3,8% e tjera humbin rreth $1000, dhe rezultati mesatar i mbrëmjes është −$9,17, që është saktësisht 1/37 e $339 që tridhjetë ciklet vënë mesatarisht. Një tavolinë me $5 dhe maksimum $2000 nuk ndryshon: shumat deri në $1280 lejojnë nëntë baste, dhe thyerja vjen një herë në 403 cikle në një rrotë evropiane (një herë në 323 në një amerikane) dhe kushton $2555.
Një lojtar i pasur
Jepini progresionit një buxhet loje të thellë në vend të një limiti të ulët: 1000 njësi, bazë një njësi dhe 1000 rrotullime në të kuqe, duke rifilluar nga një njësi sa herë që dyfishimi i radhës është më shumë se sa ka mbetur. Simuluam një milion mbrëmje të tilla. Në një rrotë evropiane 52% përfundojnë në fitim, 21% humbasin gjithçka dhe rezultati mesatar është −124 njësi. Edhe në një lojë pa zerorrotëZerojaFoleja e vetme jeshile që nuk e mbulon asnjë bast me pagesë të barabartë, në duzinë apo në kolonë; burimi i avantazhit të kazinosë. Gjithashtu: zero e vetme, 0.Lexoni të plotë →, ku çdo bast është i drejtë, vetëm rreth 60% do të përfundonin në fitim. Mbrëmja e zakonshme është një fitim i vogël; mesatarja paguhet nga mbrëmjet që mbarojnë me buxhetin në zero.
Mësimi
Kazinotë vendosin limite për të kufizuar variancënmatematikëVariancaMasë se sa gjerësisht shpërndahen rezultatet rreth vlerës së pritur. E madhe për bastin e drejtpërdrejtë, e vogël për bastet me pagesë të barabartë.Lexoni të plotë → e tyre, jo për të mposhtur sistemet. Mposhtja e Martingale-s është një efekt anësor që e kanë me qejf, dhe aritmetika do ta mposhtte gjithsesi. Një lojtar që mendon se problemi është limiti e ka gjetur greminën dhe e ka ngatërruar me tatëpjetën.
Formula
Pyetje
Ju lejon të mbijetoni deri në një limit më të lartë, ku thyerja është më e rrallë dhe më e madhe. Humbja e pritur për dollar mbetet e pandryshuar.
Shumat 10, 30, 70, 150, 310: limiti $500 arrihet pas pesë humbjeve, dhe thyerja kushton $570. I njëjti 2,70%.
Që një lojtar i vetëm të mos vërë më shumë nga sa mund të paguajë rehat rezerva e kazinosë. Menaxhim i variancës.
Argëtim me matematikën
Provojini fillimisht vetë. Çdo zgjidhje është e mbyllur; hapeni kur të jeni gati.
Një strategji MartingalestrategjiMartingaleProgresion që e dyfishon bastin pas çdo humbjeje. Shikoni seksionin e Strategjisë për atë që bën dhe nuk bën.Lexoni të plotë → nis me $100 në të kuqebastE kuqeBast me pagesë të barabartë në 18 numrat e kuq. Frëngjisht: rouge.Lexoni të plotë → dhe lejon më së shumti n baste për cikël: pas n humbjesh radhazi heq dorë dhe nis nga e para. Shkruani rezultatin mesatar të një cikli si formulë në n, dhe llogariteni për 5, 6 dhe 7 baste në një rrotë evropiane.
Shfaq zgjidhjen
Përgjigjja Mesatarja është 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 për 5 baste, −$17,35 për 6 dhe −$20,52 për 7. Lejimi i më shumë basteve e bën ciklin mesatar më të keq, jo më të mirë.
Një cikël fiton $100 përveç kur humbin të n bastet, gjë që ndodh me mundësi qⁿ, ku q = 19/37. Kur humbin të gjitha, shumat 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ mblidhen në 100 × (2ⁿ − 1). Pra mesatarja është 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Këtu 2q = 38/37, pak më shumë se 1, kështu që (2q)ⁿ rritet me n dhe mesatarja bie: n = 5 jep 1,1426 dhe −$14,26; n = 6 jep 1,1735 dhe −$17,35; n = 7 jep 1,2052 dhe −$20,52. Një shkallë më e gjatë humbet më rrallë, në 3,6%, 1,8% dhe 0,9% të cikleve, por çdo humbje është dyfish më e madhe, dhe në çdo cikël kalojnë më shumë para mbi tavolinë, me 2,70% të çdo basti.
Në një rrotë amerikane 2q = 40/38 dhe shifrat janë −$29,24, −$36,04 dhe −$43,20 (Taylor, 2021). Në një lojë pa zerorrotëZerojaFoleja e vetme jeshile që nuk e mbulon asnjë bast me pagesë të barabartë, në duzinë apo në kolonë; burimi i avantazhit të kazinosë. Gjithashtu: zero e vetme, 0.Lexoni të plotë → 2q = 1, dhe çdo cikël jep mesatarisht saktësisht zero, sado e gjatë të jetë shkalla.
„Grand Martingale“ e dyfishon shumën e bastit pas një humbjeje dhe shton një njësiparaNjësiaShuma bazë e bastit me të cilën punon një sistem ose një lojtar. Progresionet përshkruhen në njësi, që të vlejnë në çdo tavolinë.Lexoni të plotë →, kështu që shumat shkojnë 1, 3, 7, 15, 31 … Sa jeni në fitim kur fitorja e parë vjen në bastin e 1-rë, të 2-të, të 3-të ose të k-të? Me një njësi prej $10 dhe një maksimum prej $500, sa shpesh thyhet një cikël, dhe sa kushton mesatarisht një cikël?
Shfaq zgjidhjen
Përgjigjja Një fitore në bastin e k-të ju lë k njësi në fitim: +1, +2, +3 e kështu me radhë. Me $10 dhe $500 cikli thyhet pas pesë humbjesh, në 3,57% të cikleve, me −$570. Mesatarisht një cikël humbet $2,32 nga $85,73 të vëna: 2,70%.
Shuma e k-të është 2ᵏ − 1 njësi: 1, 3, 7, 15, 31. Shumat e para k − 1 mblidhen në 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Një fitore në bastin e k-të paguan 2ᵏ − 1, pra cikli mbaron (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k njësi në fitim: një njësi shtesë për çdo humbje para fitores.
Me $10 për njësi shumat janë $10, $30, $70, $150 dhe $310; e radhës, $630, e kalon maksimumin prej $500. Pesë humbje radhazi, (19/37)⁵ = 3,57%, kushtojnë 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Mesatarja: fitoret sjellin $10 × k me mundësi (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 për k = 1 deri në 5, dhe thyerja merr $570 me mundësi 3,57%; bashkë −$2,32. Paratë e vëna janë mesatarisht $85,73 për cikël, dhe 2,32/85,73 = 2,70%. Martingale e zakonshme në të njëjtën tavolinë thyhet pas gjashtë humbjesh, në 1,83% të cikleve, me −$630, dhe humbet $1,74 nga $64,20 të vëna: përsëri 2,70%.
Një lojtar planifikon një Martingale në të kuqe me një bast të parë prej $1 në një tavolinë me limit $1000, kështu që janë të mundshme dhjetë baste: $1, $2, $4 e kështu me radhë deri në $512. Sa shpesh një cikël i humbet të dhjetë, sa kohë duhet mesatarisht që të ndodhë kjo, dhe sa shpesh një mbrëmje me 200 baste mbaron në këtë mënyrë?
Shfaq zgjidhjen
Përgjigjja Një cikël i humbet të dhjetë rreth një herë në 784, gjë që kushton $1023. Kjo kërkon mesatarisht rreth 1600 baste, dhe një mbrëmje me 200 baste përplaset me murin në rreth 11% të rasteve. Një cikël prapë humbet mesatarisht $0,31 nga $11,31 të vëna: 2,70%.
Një bast në të kuqe humbet me mundësi 19/37, përfshirë zeron. Dhjetë radhazi: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, rreth 1 në 784. Shumat 1 + 2 + 4 + … + 512 mblidhen në $1023.
Një cikël zgjat mesatarisht 2,05 baste, pra 784 cikle zgjasin rreth 1600 baste. E numëruar rrotullim pas rrotullimi, një seri prej dhjetë humbjesh shfaqet diku në 200 baste në 11,3% të rasteve.
Midis katastrofave lojtari fiton $1 për cikël: rreth $783 para ciklit të keq, pastaj −$1023, rreth −$240 për gjithë periudhën. Për cikël: 1 × (1 − 0,00128) − 1023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Paratë e vëna për cikël: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Dhe −0,31/11,31 = −2,70%.
Krahasojeni me një bast të parë prej $10 me limit $500, pra gjashtë baste: muri vjen një herë në 55 cikle, dhe një mbrëmje me 200 baste përplaset me të në 84% të rasteve. Një limit më i lartë e bën përplasjen me murin më të rrallë dhe më të madh, jo më të lirë.
Pak humor
Më e rrallë dhe më e madhe, në çdo limit. Prodhimi është konstant.
Burimet
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. „Optimal gambling systems for favorable games.“
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, botimi i 2-të.