Problemi: rrota e ditëlindjeve
Sa rrotullime duhen që një numër të përsëritet? Shumë më pak nga sa mendojnë shumica e njerëzve.
Problemi i ditëlindjeve në një rrotë me 37 folepajisjeFolejaNjë nga 37 ndarjet me numra në rotor. Gjithashtu: vend, kupëz.Lexoni të plotë →: pas vetëm 8 rrotullimesh, mundësia që ndonjë numër të ketë dalë tashmë dy herë është më e madhe se gjysma. Lojtarët i lexojnë përsëritjet si modele; ato janë sjellja e pritur e një rrote të paanshme.
Problemi
Rrotulloni një rrotë evropiane të paanshme. Pas sa rrotullimesh probabilitetimatematikëProbabilitetiGjasa e një rezultati, nga 0 në 1 ose nga 0% në 100%. Një numër: 1/37 = 2,70%.Lexoni të plotë → që të paktën dy rrotullime të kenë treguar të njëjtin numër e kalon gjysmën? Shumica e lojtarëve hamendësojnë diku rreth 18 ose 19, gjysmën e 37. Përgjigjja është 8.
Zgjidhja
Llogaritni probabilitetin që të mos ketë përsëritje dhe zbriteni nga një. Pas k rrotullimesh, p(të gjithë të ndryshëm) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Për k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, kështu që p(ndonjë përsëritje) ≈ 0,56. Për k = 14 është 0,93; për k = 20 është 0,996. Intuita gabon sepse numri i palëve të rrotullimeve rritet si k², dhe çdo palë mund të përputhet.
Pse ka rëndësi në tavolinë
Një tabelë rezultatesh me 20 numrat e fundit pothuajse gjithmonë do të tregojë të paktën një përsëritje, shpesh dy ose tri. Lojtarët shohin „17 doli dy herë në dhjetë rrotullime“ dhe arrijnë në përfundimin se 17 është i nxehtë; aritmetika e ditëlindjeve thotë se një përsëritje brenda dhjetë rrotullimeve ndodh 74% të kohës dhe numri i përsëritur është i rastësishëm. Modeli është real; kuptimi jo.
Problemi vijues
Sa rrotullime duhen që një numër i caktuar, të themi 17, të ketë dalë dy herë? Kjo është një pyetje tjetër, me një përgjigje shumë më të madhe: koha mesatare e pritjes është 74 rrotullime, dhe probabiliteti i dy 17-ave brenda 20 rrotullimeve është rreth 10%. Dallimi midis „ndonjë numër përsëritet“ (8 rrotullime) dhe „ky numër përsëritet“ (74 rrotullime) është i gjithë dallimi midis një modeli që e vini re më pas dhe një parashikimi që e bëni përpara.
Provojeni
Luani dhjetë rrotullime në Simulatorin e ruletës dhe shikoni historikun. Zakonisht do të ketë një përsëritje. Luajeni përsëri. Numri i përsëritur do të jetë tjetër. Bëjeni këtë dhjetë herë dhe e keni parë problemin e ditëlindjevematematikëProblemi i ditëlindjeveSa njerëz duhen që të ketë gjasa që dy prej tyre të kenë të njëjtën ditëlindje, ose sa rrotullime duhen që të ketë gjasa që një numër të përsëritet. Në një rrotë me 37 fole mjaftojnë 8 rrotullime për një mundësi që e kalon gjysmën.Lexoni të plotë →; bëjeni një mijë herë (simulatorët mund ta bëjnë) dhe e keni matur.
Formula
Pyetje
Pikërisht, me 37 fole në vend të 365 ditëve. 23 persona japin 50% për ditëlindjet; 8 rrotullime japin 56% për rrotën.
50% pas rreth 19 rrotullimesh. Ende diçka e zakonshme.
Jo. Mijëra rrotullime nga një rrotë do ta tregonin; një përsëritje nuk e tregon kurrë.
Argëtim me matematikën
Provojini fillimisht vetë. Çdo zgjidhje është e mbyllur; hapeni kur të jeni gati.
Një tabelë rezultatesh pranë një rrote amerikane tregon 16 rrotullimet e fundit. Sa e mundshme është që asnjë numër të mos shfaqet dy herë në të?
Shfaq zgjidhjen
Përgjigjja Rreth 2,5%: afërsisht 39 tabela në 40 tregojnë të paktën një përsëritje.
Shkoni rrotullim pas rrotullimi. Rrotullimi i parë mund të jetë çfarëdo. I dyti duhet ta shmangë atë: 37 mundësi në 38. I treti duhet t’i shmangë të dy: 36 në 38. I gjashtëmbëdhjeti duhet të shmangë pesëmbëdhjetë numra: 23 në 38.
Shumëzoni: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Tabela pa përsëritje është e rralla. Një tabelë me përsëritje nuk tregon asgjë për rrotën.
Në dhjetë rrotullime të një rrote evropiane, cili është probabiliteti që 17 të dalë saktësisht pesë herë? Që një numër, cilido qoftë, të dalë pesë ose më shumë herë? Dhe që një numër të dalë të paktën tri herë në katër rrotullime?
Shfaq zgjidhjen
Përgjigjja 17 saktësisht pesë herë: 1 në 315 576. Një numër çfarëdo pesë ose më shumë herë: rreth 1 në 8333. Një numër çfarëdo tri ose më shumë herë në katër rrotullime: 1 në 349.
17 pesë herë: zgjidhni cilat pesë nga dhjetë rrotullimet, 252 mënyra, secila me probabilitet (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Së bashku, 1 në 315 576.
Një numër çfarëdo: secili nga 37 numrat ka probabilitet 1 në 308 325 për pesë ose më shumë goditje, gjë që jep 37 në 308 325, ose 1 në 8333. Rasti i rrallë i dy numrave me nga pesë goditje secili numërohet dy herë, por heqja e tij nuk ndryshon asgjë në këtë saktësi.
Tri herë në katër rrotullime: për një numër, 4 × 36 + 1 = 145 nga 37⁴ rezultatet e mundshme; për cilindo nga 37 numrat, 145/37³ = 1 në 349.
Për një rrotë me zerorrotëZerojaFoleja e vetme jeshile që nuk e mbulon asnjë bast me pagesë të barabartë, në duzinë apo në kolonë; burimi i avantazhit të kazinosë. Gjithashtu: zero e vetme, 0.Lexoni të plotë → të dyfishtë, shifrat përkatëse janë 1 në 359 275, 1 në 9243 dhe 1 në 368. Hendeku midis „17“ dhe „një numër çfarëdo“ është sërish problemi i ditëlindjevematematikëProblemi i ditëlindjeveSa njerëz duhen që të ketë gjasa që dy prej tyre të kenë të njëjtën ditëlindje, ose sa rrotullime duhen që të ketë gjasa që një numër të përsëritet. Në një rrotë me 37 fole mjaftojnë 8 rrotullime për një mundësi që e kalon gjysmën.Lexoni të plotë →: ka 37 mënyra për t’u befasuar.
Pak humor
Diçka përsëritet herët. Ajo diçka është e rastësishme.
Burimet
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. „Ask the Wizard“, pyetje për ruletën.