Konvergjenca në afat të gjatë: ligji i numrave të mëdhenj në ruletë
Si mesatarja afrohet drejt −2,70% dhe pse kjo zgjat më shumë nga sa sugjeron intuita.
Humbja mesatare për rrotullim konvergjon te −1/37 ndërsa rrotullimet shtohen, me një shpërndarje që zvogëlohet si 1/√N. Pas 1000 rrotullimesh në të kuqe, mesatarja zakonisht ndodhet brenda ±3% nga vlera e saj e pritur.
Ligji i numrave të mëdhenj
Mesatarja rrjedhëse e basteve të pavarura priret drejt vlerës së priturmatematikëVlera e priturRezultati mesatar për bast në afat të gjatë. −1/37 e shumës së bastit për çdo bast standard evropian.Lexoni të plotë →. Pas N rrotullimesh me pagesë të barabartë me një njësiparaNjësiaShuma bazë e bastit me të cilën punon një sistem ose një lojtar. Progresionet përshkruhen në njësi, që të vlejnë në çdo tavolinë.Lexoni të plotë →, rezultati mesatar për rrotullim ka vlerë të pritur −1/37 dhe devijim standardmatematikëDevijimi standardRrënja katrore e variancës; largësia tipike e një rezultati nga vlera e pritur.Lexoni të plotë → 1/√N. Për N = 100 kjo shpërndarje është 10% e shumës së bastit, pothuajse katër herë sa sinjali prej 2,7%. Për N = 1000 është 3,2%, afërsisht sa sinjali. Për N = 10 000 është 1% dhe avantazhi duket qartë. Avantazhi është i padukshëm në një seancë dhe i pagabueshëm në një vit.
Çfarë konvergjon dhe çfarë jo
Mesatarja për rrotullim konvergjon. Totali jo: ai largohet gjithnjë e më shumë nga zero ndërsa N rritet, mesatarisht me rreth 2,7% të N, me një shpërndarje prej √N rreth kësaj vlere. Një lojtar që ka luajtur 10 000 rrotullime me $10 pritet të jetë në humbje me $2700, plus minus $1000. Përqindja rrjedhëse e rezultateve të kuqebastE kuqeBast me pagesë të barabartë në 18 numrat e kuq. Frëngjisht: rouge.Lexoni të plotë → është vendosur prej kohësh rreth 48,65%; totali i deritanishëm nuk është vendosur askund.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Pse intuita gabon
Njerëzit presin që avantazhi të shfaqet shpejt, sepse 2,70% tingëllon shumë, dhe presin që seritë e gjata të „barazohen“, sepse ligji i numrave të mëdhenjmatematikëLigji i numrave të mëdhenjMesatarja e rezultateve të pavarura konvergjon te vlera e pritur ndërsa rritet numri i provave.Lexoni të plotë → thotë se mesataret konvergjojnë. Të dyja intuitat e gabojnë shkallën: avantazhi është i vogël krahasuar me variancënmatematikëVariancaMasë se sa gjerësisht shpërndahen rezultatet rreth vlerës së pritur. E madhe për bastin e drejtpërdrejtë, e vogël për bastet me pagesë të barabartë.Lexoni të plotë → e një rrotullimi të vetëm (σ = 1 njësi kundrejt EV = 0,027), prandaj duhen (1/0,027)² ≈ 1400 rrotullime që ai të bëhet i dukshëm në nivelin e një sigme. Dhe konvergjenca e mesatares nuk e tërheq aspak totalin mbrapsht; ajo vetëm i hollon luhatjet e kaluara.
Konvergjenca për bastet e tjera
Për bastet e drejtpërdrejtabastBasti i drejtpërdrejtëNjë numër i vetëm, paguan 35:1.Lexoni të plotë → σ = 5,84, prandaj e njëjta llogaritje jep (5,84/0,027)² ≈ 47 000 rrotullime që avantazhi të arrijë një sigma. Një lojtar i basteve të drejtpërdrejta mund të luajë me vite pa e dalluar avantazhin nga fati në shënimet e veta, ndërsa paguan saktësisht të njëjtin 2,70% si lojtari i së kuqes, që e sheh brenda pak javësh.
Pasoja për testimin e sistemeve
Kushdo që pretendon se një sistem funksionon duhet të jetë në gjendje ta tregojë këtë në 10 000 ose më shumë rrotullime, me një mesatare pozitive të dokumentuar. Në 1000 rrotullime, një mesatare pozitive në bastet me pagesë të barabartë është ngjarje që ndodh një herë në pesë sipas hipotezës zero; në 100 rrotullime është pothuajse si hedhja e një monedhe. Simulatorët e këtij sajti ekzekutojnë brenda një sekonde 2000 seanca me gjatësinë që zgjidhni, që është më shumë provë se çdo dëshmi personale.
Formula
Pyetje
ProbabilitetimatematikëProbabilitetiGjasa e një rezultati, nga 0 në 1 ose nga 0% në 100%. Një numër: 1/37 = 2,70%.Lexoni të plotë → për të dalë ndonjëherë sërish në fitim bie drejt zeros ndërsa luani. Totali zbret pa kufi.
Jo. Do të thotë që luhatjet e kaluara bëhen një pjesë më e vogël e një mostre më të madhe.
Për bastet me pagesë të barabartë, rreth 10 000 para se avantazhi të duket qartë. Për bastet e drejtpërdrejta, rreth 50 000.
Argëtim me matematikën
Provojini fillimisht vetë. Çdo zgjidhje është e mbyllur; hapeni kur të jeni gati.
Dy miq luajnë 20 raunde të një loje të drejtëmatematikëLoja e drejtëLojë në të cilën asnjë palë nuk ka avantazh: çdo bast ka vlerë të pritur zero.Lexoni të plotë →, hedhje monedhe ose e kuqjabastE kuqeBast me pagesë të barabartë në 18 numrat e kuq. Frëngjisht: rouge.Lexoni të plotë → kundër së zezësbastE zezëBast me pagesë të barabartë në 18 numrat e zinj. Frëngjisht: noir.Lexoni të plotë → me zerotrrotëZerojaFoleja e vetme jeshile që nuk e mbulon asnjë bast me pagesë të barabartë, në duzinë apo në kolonë; burimi i avantazhit të kazinosë. Gjithashtu: zero e vetme, 0.Lexoni të plotë → të kthyera, dhe mbajnë rezultatin e vazhdueshëm. Numëroni raundet gjatë të cilave secili prej tyre është përpara (një barazim i llogaritet atij që ishte përpara menjëherë më parë). Çfarë është më e mundshme: që kryesimi të ndahet 10 raunde me 10, apo që njëri mik të kryesojë të 20 raundet?
Shfaq zgjidhjen
Përgjigjja Që njëri mik të kryesojë të 20 raundet është shumë më e mundshme: 35,2%, duke llogaritur cilindo nga të dy, kundrejt 6,1% për një ndarje të barabartë 10 me 10.
Mundësia që një rezultat i vazhdueshëm në një lojë të drejtë të jetë i barabartë pas 2k raundesh është u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 pas 10 raundesh dhe 0,176 pas 20. Një rezultat klasik, ligji i arksinusit, thotë se mundësia që një mik i caktuar të kryesojë saktësisht 2k nga 2n raunde është u(2k) × u(2n − 2k).
Kryesimi i të 20 raundeve: u(20) × u(0) = 0,176 për secilin mik, pra 35,2% për cilindo prej tyre. Një ndarje e barabartë: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, ndarja më pak e mundshme nga të gjitha.
Pra në një lojë të drejtë kryesimi rrallë ndërron duar. Një lojtar që ka qenë në fitim gjithë mbrëmjen, ose në humbje gjithë mbrëmjen, nuk ka parë asgjë të pazakontë, dhe kjo nuk thotë asgjë për rrotën apo për aftësinë. Epstein (2013) jep të njëjtin ligj për lojëra më të gjata: në gjysmën e rasteve pala më me fat kryeson për më shumë se 85% të lojës.
Pak humor
Mesatarja konvergjon. Totali thjesht largohet.
Burimet
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.